В каком случае работник несет ответственность за предоставленные ему на работе
механизмы служебного пользования (мобильный телефон, например) Только в случае подписания этим работником договора о материальной ответственности или еще в каких-то случаях (например , в случае выдачи ему этого мобильного ,что называется , «под роспись»)?

Трудовой кодекс различает ограниченную и полную материальную ответственность работника. Ограниченная материальная ответственность подразумевает возмещение работодателю прямого действительного ущерба в размере среднего месячного заработка работника.
Полная материальная ответственность возлагается на работника только в тех случаях, которые предусмотрены в ст. 243 ТК РФ.
Часть 2 статьи 243 ТК РФ предполагает полную материальную ответственность в случае:
2) недостачи ценностей, вверенных ему на основании специального письменного договора или полученных им по разовому документу
Полагаю, вопрос встанет: а был ли документ. Если документ был - ответственность полная. То есть работник возмещает прямой действительный ущерб в полном размере (а не в размере своего месячного заработка).