Скажите, пожалуйста, имеет ли право на дополнительный отпуск (или продление очередного) работник, который ухаживал за своим подопечным в период очередного отпуска и имеет об этом справку?

На основании пункта 5.6 Инструкции о порядке выдачи документов, удостоверяющих временную нетрудоспособность граждан, утвержденной приказом Минздравмедпрома России и постановлением Фонда социального страхования РФ от 19.10.94 N 206/21, листок нетрудоспособности по уходу за больным членом семьи (в т.ч. и за больным ребенком) не выдается в период очередного отпуска и отпуска без сохранения содержания; в период отпуска по беременности и родам; в период частично оплачиваемого отпуска по уходу за ребенком.

Оснований для продления отпуска нет.

Разве что - если локальными нормативными актами организации может быть установлено право работников на продление ежегодных отпусков в случае болезни ребенка или родственника, так как это не ухудшает их положения по сравнению с нормами трудового законодательства.

Большое спасибо!
То есть и без сохранения содержания эти дни она взять не имеет права?

Без сохранения содержания может, если администрация будет не против.