ТСН имеет право управлять домом ? Или должно для этого нанимать УК ?

1. Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)

5. Товарищества собственников недвижимости

Статья 123.12. Основные положения о товариществе собственников недвижимости
 1. Товариществом собственников недвижимости признается добровольное объединение собственников недвижимого имущества (помещений в здании, в том числе в многоквартирном доме, или в нескольких зданиях, жилых домов, дачных домов, садоводческих, огороднических или дачных земельных участков и т. п.), созданное ими для совместного владения, пользования и в установленных законом пределах распоряжения имуществом (вещами), в силу закона находящимся в их общей собственности или в общем пользовании, а также для достижения иных целей, предусмотренных законами.

2. Жилищный кодекс Российской Федерации

Статья 135. Товарищество собственников жилья
1. Товариществом собственников жилья признается вид товариществ собственников недвижимости, представляющий собой объединение собственников помещений в многоквартирном доме для совместного управления общим имуществом в многоквартирном доме <...>

Вы намекаете что :

"для достижения иных целей, предусмотренных законами."

и есть

"для совместного управления общим имуществом в многоквартирном доме " ?

Да. Это следует из приведенных мною положений ГК и ЖК.