Я работала в школе. Нашла другую, более высокооплачиваемую работу. Подала заявление на увольнение директору. После чего случился небольшой скандал, на меня наорали и отчитали как двоечницу. Мол, то ты уходишь, то возвращаешься, то снова уходишь, из-за тебя мы отказали другому человеку, и ты знала, на что шла, и вообще, это непорядочно. Действительно, летом я увольнялась, но тогда коллеги уговорили остаться. И вот через два месяца я снова ухожу, и теперь уже наверняка. Директор прокричала, что заявление мне она не подпишет, и я обязана работать до конца мая. Может ли она так сделать? И как мне оттуда уволиться ?

2 недели отработать обязаны, после подачи заявления

А дальше? На работу перестать ходить?

Если директор не желает подписывать заявление, делаете второй экземпляр, первый сдаете секретарю, на втором секретарь пусть ставит отметку, что принято такого-то числа. Через две недели приходите за расчетом и трудовой. Все.
Если нет секретаря, а директор не подписывает заявление, то можно подать ему при свидетелях, тогда также через две недели придете за деньгами и трудовой. Но две недели отработать обязаны! Иначе прогул и увольнение по статье. Кстати, подойдите к директору еще раз, может, попали под плохое настроение, а теперь он смирится в душе с вашим уходом и подпишет. Побурчит, навеное, но куда он денется?

А если нет ни секретаря, ни свидетелей?..
Идем на почту, отправляем заказное (а лучше - ценное, с описью вложений) письмо с уведомлением в адрес руководителя предприятия...
На самом деле из текста статьи 80 ТК РФ следует, что подается не заявление, которое можно удовлетворить, а можно и не удовлетворить. Сотрудник просто уведомляет работодателя о своем намерении расторгнуть трудовой договор за две недели. И все... Руководитель предприятия может подписывать, может не подписывать, может рыбу в эту бумагу завернуть... Его уведомили!