С одной стороны получение возмещения за один страховой случай - противозаконно.
С другой стороны если лимит ответственности страховщика исчерпан (скажем при медицинской страховке) но остались неоплаченные счета можно именно не оплаченные счета предъявить по другой страховке?

Противозаконно предъявлять к оплате одни и теже счета. А неоплаченные можно.