Работаю 2 месяца, а договор аренды не дают. Могут ли меня попросить освободить место? Киоск я выкупила. Как быть в такой ситуации?

выгнать могут в любой момент.
что значит выкупили киоск?
купили 4 стены?
здесь на форуме человек просто скупает
киоски выброшенные из арендо- и делового оборота...
вопрос получения денег арендодателем:
наличные в карман или безналичные на счет?
от итога зависит более легкая возможность доказать (исключительно через суд и согласно ГК) заключение договора согласно фактическим действиям сторон в случае возникновения неприятностей и вопросов.
требуйте договор или чеки, корешки , счет-фактуры , акты выполненных работ и прочие фактические документы по оплате
аренды.
----------------------------------------------------------
договоры аренды сроком более 11 месяцев должны быть зарегистрированы в РР.
можете нажать на отношения с Налоговой инспекцией , если не получите договора.
проверьте свои внутренние ощущения и практику с другими арендаторами , как и что у них. может нет причин для большого беспокойства. есть практика у некоторых арендодателей выдавать пакет документов по факту (месяца, квартала).