Пытаюсь добавить контакт в телефоне - предлагает сохранить:
- в телефон
- на сим-карту
- добавить аккаунт.
Добавляю аккаунт, выкидывает сообщение - "у вас нет разрешений на синхронизацию с этим сервером".
Добавить контакт в гугле и экспортировать в телефон - можно, синхронизировать - изменения в телефоне не отражаются.

Кто виноват?
Что делать?

1. Либо не все gapps`ы есть. Нужно переустановить.
2. Стоит запрет на синхронизацию в настройках безопасности аккаунта google.
Но скорее всего первое.

Можете чуть более подробно? Что переустановить? Чем чревато (ну там приложения, контакты, смски удалятся)?

Подробнее лучше почитать в профильном форуме, например, на 4pda по Вашей модели телефона. Как правило, ничего не удаляется. Контакты, на всякий случай, скопируйте в память телефона или на карту памяти.

Спасибо!