1. Как оформляется покупка машины? Особенно если в рассрочку (часть бабла сейчас, часть потом)? Т. е. ударили продавец и покупатель по рукам и куда после этого ехать?
2. Как можно проверить (желательно быстро) "чистая" ли машина?

Если на авторынке ты собрался в рассрочку покупать - то наверно договор только "по понятиям".
Если расчет на месте - то продавец чаще всего выписывает тебе справку-счет (возле базара их немеряно развелось).
Происходит это так - готовите документы, стоите очередь (пусть незабудет транзиты) отдаете все паспорта, тех.паспорт в окошко на оформление. Вам говорят - 10 минут подождите. В это время обычно происходит расчет деньгами.
В принципе это наверно и все, по времени минут 30 - если очередь человека 2.

А дальше с ПТС, транзитами и справкой-счетом в МРЭО ?
"чаще всего выписывает тебе справку-счет"
А можно как-то без справки обойтись?

Можно куплю-продажу оформить прямо в МРЭО. точную технологию не знаю.

Поиск и еще раз поиск. Где-то уже упоминалось об этом на форуме.

Вместо счета-справки можно самому заполнить бланк договора купли-продажи. Выйдет дешевле(счет справка стоит 580руб), но тогда при постановке должены присутствовать и продавец и покупатель. И еще, последний гаец, которому все документы сдаются, будет придираться к каждой закорючке в договоре. При мне (я 28,06 ставил) из пяти таких договорников троих отправили переделывать документы, одного из них дважды.

Вот первоисточник - http://www.gai.ru/articles/?art=4
"3.3. К регистрационным документам относятся свидетельства о регистрации транспортных средств или технические паспорта (технические талоны) транспортных средств, если не произведена их замена в порядке, установленном нормативными правовыми актами МВД России."

Там еще есть один забавный пункт:
"2. Не подлежат регистрации в Госавтоинспекции и не принимаются к производству регистрационных действий транспортные средства:
изготовленные в Российской Федерации,..."