Можно ли снять/поставить машину с учета по доверенности, с договором купли-продажи? В окошке, где делают справку-счет сослались на какой-то документ, что самому себе продать нельзя, но если сделать справку-счет, то можно. Правда ли это?

Если есть договор купли-продажи на тебя (ты собственник), то можно. Если только доверенность, на себя нельзя.
Если после снятия есть справка-счет, то снова можно