Какие-то магазины предоставляют сервис по установке купленной у них сантехники?

Да, большинство предоставляют. Я был в "Мойдодыре", у них объявление видел, о том, что они могут установить все сами. За деньги, разумеется. Насчет стоимости этой услуги не интересовался. В общем-то, если голова на плечах есть, то никакой проблемы самому унитаз поменять/установить. Там ничего сложного.
Старый унитаз обычно приделан к сливному чугуну намертво на цемент, который не так-то просто отдолбить. Поэтому самое простое - разбить выходную горловину старого унитаза молотком, поддеть унитаз монтировкой у пола, и он от него отойдет (к полу унитазы советские строители обычно приделывали просто на цемент, без дополнительного крепления). Потом выровнять пол, очистить от остатков старого цемента, выбить зубилом из чугуна останки старого унитаза и цемента, предварительно поставить на место новый унитаз, наметить на полу крепежные дырки под дюбеля, просверлить их. Потом желательно место на полу, где будет установлен унитаз, промазать цементом или плиточным клеем. Ну и собсно все. Втыкаешь если надо какие переходники на чугун и унитаз, завинчиваешь на дюбеля с шурупами-саморезами. цемент как высохнет-можно испытывать :-) (его мазать под унитаз не обязательно, но желательно. с ним унитаз не будет "качаться" на полу, если на полу есть малейшие неровности, и благодаря этому не будет проблем с разгерметизацией слива)